Teorema del equilibrio porcentual de conjuntos aleatorios - Teorema de Luis Cebrián

Teorema del equilibrio de secuencias aleatorias

Este teorema fue creado por el matemático español Luis Cebrián a partir de los estudios en el juego de la ruleta, pero bien pudiera aplicarse sobre cualquier conjunto aleatorio. Fue expuesto en un foro de matemáticos en la Universidad Complutense de Madrid allá por el año 2001. Curiosamente no ha quedado huella de tal teorema en la red.

Enunciado:

Sea un conjunto C de elementos aleatorios que aparecen secuencialmente uno a uno de manera aleatoria, se establece que la aparición de los elementos de cualquier subconjunto S se realiza en base a un equilibrio porcentual comprendido entre la zona intermedia de dos funciones e(x) y d(x), donde e(x) es el límite superior y d(x) el límite inferior.

Este teorema da respuesta esa contradicción porcentual entre las apariciones reales de cada subconjunto respecto a su probabilidad teórica. El ejemplo más conocido es el de la clásica "moneda lanzada al aire". La probabilidad teórica de una moneda lanzada al aire es igual a 1/2 (50%), sin embargo de todos es conocido que si lanzamos diez veces dicha moneda rara vez ocurrirá que el resultado sea cinco caras y cinco cruces. Y mucho menos que su distribución sea alternante en modo zig-zag.

¿Por qué si lanzo una moneda al aire veinte veces es poco probable que me aparezcan 10 caras y 10 cruces? pues porque la probabilidad real no es lineal sino que se encuentra en un área de dos dimensiones. Es una probabilidad integral.

El juego de la ruleta es otro ejemplo de sistema aleatorio. Se compone de un conjunto de 37 números distintos, contados del 0 al 36. Sea un subconjunto que comprenda por ejemplo del 1 al 12 (primera docena) se define que su probabilidad real de aparición no es 12/37, que es su probabilidad teórica, sino la comprendida en un área de equilibrio que explicamos a continuación.

Ponemos como ejemplo cualquier docena de la ruleta. Sabemos que la ruleta cuenta con tres docenas compuestas por 12 números consecutivos, siendo la primera del 1 al 12, la segunda del 13 al 24 y la tercera del 25 al 36.

Existen dos límites de probabilidad real expresado genéricamente por la siguientes fórmulas:

Límite superior:

Límite inferior

Donde C es el conjunto de elementos, S el subconjunto de C elegido, y X es la posición de la secuencia (número de tirada).

En el caso de la ruleta los límites superior e inferior para el juego de docenas quedarían del siguiente modo:

En modo gráfico se generarían las tres áreas descritas en la siguiente imagen:

La zona azul representa la zona de exceso, en la que los porcentajes tienen un valor superior a e(x), la zona magenta es la zona de defecto, en la que los valores porcentuales son inferiores a d(x) y la zona verde es el área de equilibrio, comprendida entre los valores de ambas funciones.

Llevado al lado práctico en una sesión de juego el porcentaje real debe situarse siempre fuera de la zona de equilibrio. Caso de que dicho porcentaje se sitúe en las zona de equilibrio existirá tendencia natural a salir para luego regresar a dicha zona.

Pongamos un ejemplo. Imaginemos que estamos jugando a docenas en la ruleta. En el giro 10 los límites inferior y superior respectivos son 28,73% y 36,13%. Actuamos entonces de la siguiente forma:

Si una docena cuenta con un porcentaje de aparición comprendido entre ambos valores lo dejamos estar pues su tendencia es la de subir o bajar indistintamente. Si está en el área de exceso, esto es, cuenta con un valor superior a 36,13% pues no apostaremos puesto que su tendencia natural serla la de bajar. Si está en la zona de defecto (un porcentaje inferior a 28,73%) sí entraremos dado que su tendencia natural será la de subir dicho porcentaje en los próximos giros.

El gráfico expuesto toma como base las docenas de ruleta. Existe un eje horizontal igual a f(x)=12*100/37 que por otra parte representa el nivel límite cuando e(x) y d(x) tienden a más infinito:

Luego se demuestra que:

1º El porcentaje de aparición teórico está siempre incluido dentro de la zona de equilibrio, y supone el eje horizontal límite de las funciones de exceso e(x) y defecto d(x)

2º Cuanto mayor es el valor de X (número de giro) más probable será que el porcentaje sea igual al límite, que a su vez coincide con el porcentaje de probabilidad teórica.

3º A medida que el número de tiradas aumenta, la diferencia D= e(x)-d(x) es inversamente proporcional dicho número de tiradas y con tendencia a cero.

4º El subconjunto menos aparecido es el que  tiene más probabilidad de salir en el próximo giro, siempre que se encuentre fuera del área de equilibrio.

5º Cuanto mayor sea la posición fuera de la zona de equilibrio mayor será su tendencia a dirigirse a esta zona

¿Estamos en racha o no? Cómo identificar nuestro momento

---

Todos hemos sufrido en nuestro propio bolsillo ese fenómeno tan fatídico de una mala racha. El sistema que ayer nos llenó la saca, mira por donde hoy ya no sirve, haciendo que perdamos todo lo ganado en el día anterior. ¿Qué ha pasado? pues ha pasado que nuestro porcentaje de aciertos es inferior al de la probabilidad de la apuesta. El juego de ruleta es racheado y rara vez tiene comportamientos fijos. Nuestra estrategia debe adaptarse al juego, pues lo contrario está sujeto al principio de casualidad. Y entonces llega la pregunta del millón ¿Cómo podemos adaptarnos al juego?

Tenemos claro que las buenas rachas existen, y coinciden con pillar la misma tendencia que en ese momento la ruleta está desarrollando. Siendo así ¿Cómo saber si el sistema utilizado coincide con la tendencia de la ruleta? Fórmulas hay varias. Tampoco demasiadas. Una de ellas sería ir anotando nuestros aciertos y dividirlos por el número de giros que llevamos desde que iniciamos el juego. Luego lo multiplicamos por 100 y ya tenemos el porcentaje de aciertos. Ahí está la clave que podemos utilizar en nuestro favor para obtener el éxito. 

Es cierto que todos los sistemas fallan. Y fallan por no seguir este principio fundamental: para que un sistema sea ganador tiene que coincidir con la tendencia de la ruleta y en ese momento.

Y aquí va el enunciado:

"Toda apuesta que se realice en un contexto donde el nivel de aciertos esté por encima del umbral de probabilidad mínimo será ganadora en el medio plazo; y ocurrirá justo lo contrario si la apuesta que se realiza con un nivel de probabilidad por debajo del mínimo."

Si el porcentaje de aciertos supera el de la probabilidad de la apuesta quiere decir que estamos en racha y podemos seguir apostando. Si es inferior debemos detener las apuestas, aunque seguiremos con las anotaciones para ver si se vuelve a superar el umbral de la probabilidad, y así volver a apostar. 

Pongamos un ejemplo práctico. Jugamos a docenas y empleamos el sistema de "seguir la docena" de manera que apostamos a la última docena aparecida.

Dado que la probabilidad de la apuesta es 12/37 = 32,43% planteamos inicialmente este nivel como umbral. 

Pero claro, hay que tener en cuenta que las cuotas están ajustadas para un equilibrio de 36 números y no de 37. Por ejemplo la cuota para docenas de 3 a 1 se calcula de la manera 36/12 = 3. Apostamos una y retornamos tres. No confundir "retorno" con "ganancia". 

Sin embargo para obtener el equilibrio habría que realizar la operación 37/12 que nos da una cuota de 3,083. Luego deberíamos añadir al umbral indicado un 2,70% más. Este porcentaje es el que corresponde al cero (1/37). Con ello compensaremos el margen que nos impone la casa y que supone un defecto en la cuota.

Si añadimos este 2,70 al 32,43% obtenemos 33,30%. Redondeamos entonces por exceso hasta el 34%. Determinamos entonces que: "estamos en racha si acertamos como mínimo el 34% de las veces"

A partir de este momento si nuestro nivel de aciertos es igual o superior al 34% podemos seguir apostando con relativa tranquilidad. Por pura matemática nuestro balance siempre será positivo o con pérdidas irrelevantes. 

Si dicho nivel es inferior a 34% paramos las apuestas, aunque seguimos anotando hasta ver si se produce un nuevo alcance de dicho porcentaje, esto es, el nivel de aciertos iguala o supera el 34%.

Vemos aquí los distintos umbrales según la apuesta de que se trate. En todos ellos se ha incorporado el 2,70% de compensación. Redondeamos siempre por exceso:

Dobles: color, paridad  y altura -- 50%

Triples: docenas y columnas -- 34%

Seisenas -- 18%

Cuadros -- 17%

Calles -- 9%

Caballos -- 6%

Plenos -- 3%

Esta teoría sienta el principio de probabilidad de momentum o probabilidad real, que no es el mismo que la probabilidad teórica (32,43% para el caso de docenas y columnas). 

Esto quiere decir que si en un momento dado contamos con un porcentaje de aciertos determinado, la probabilidad de que acertemos en el próximo giro es igual dicho porcentaje. Si por ejemplo en un momento dado del juego contamos con un porcentaje de aciertos del 25% (independientemente de la apuesta de que se trate) la probabilidad de que acertemos en el próximo giro es en términos absolutos del 25%.

Para llevar el control de juego puedes utilizar lápiz y papel, aunque como siempre es más práctico, rápido y exacto hacerlo con un excel o un programa dedicado.  Yo utilizo un programa desarrollado en javascript en el que puedes seleccionar la docena según su nivel de retraso, de manera que dispones de tres posibilidades: el menos retrasado (la última docena aparecida), el más retrasado y el intermedio. Por estadística el intermedio suele ser el que arroja el mayor número de aciertos y suele superar el 34%, aunque no siempre es así. Empleo el programa duplicado en tres, a razón de uno por cada opción (más, menos e intermedio en número de retrasos), de manera que sólo apuesto al que cuenta con una superación del umbral. Aquí os dejo el pantallazo con una sesión de juego cuando lleva 34 giros. En este caso la docena con tendencia ganadora es la intermedia entre la más y menos retrasada. Con un porcentaje de acierto del 47% la ganancia provisional es de 33 fichas. Es un caso un tanto excepcional dado que el porcentaje de acierto con esa cantidad de giros no suele superar el 40%.

Con esta teoría se desmonta la creencia de que el juego tiene que equilibrarse en base a la probabilidad teórica. Si hay un desequilibrio entre docenas, las más aparecidas no necesariamente van a menguar en favor de las menos aparecidas para alcanzar el 32,43%. El juego lleva su propio desarrollo interno y sólo debes reparar si tu nivel de aciertos es adecuado para entrar o no. Ojo! no hay que confundir cantidad de aciertos con las veces que la docena aparece. Apostar "al que más sale" será rentable siempre que nuestro nivel de aciertos supere el 33% y no porque el que más sale supere dicho porcentaje.

Recuerda la Ley de Inercia de Newton indica que un cuerpo siempre se moverá en la misma dirección, sentido y velocidad, salvo que alguna fuerza (externa o interna) actúe sobre dicho cuerpo. Luego es más fácil que la tendencia del juego se mantenga a que varíe, salvo que el cilindro sea manipulado o el crupier condicione el lanzamiento de la bola.

Pd. Este artículo es de creación propia y producto de mis investigaciones, y no contiene conceptos procedentes de otras fuente.